Математичари су пронашли скривено ‘дугме за ресетовање’ за поништавање ротације

Замислите да окрећете врх, а затим га пустите да се заустави. Постоји ли начин да поново завртите врх тако да заврши у тачном положају у којем је почео, као да га никада нисте вртели? Изненађујуће, да, кажу математичари који су открили универзални рецепт за поништавање ротације скоро сваког објекта.

Интуитивно, чини се да је једини начин да се поништи компликована секвенца ротација тако што ћете мукотрпно радити потпуно супротне покрете један по један. Али Јеан-Пиерре Ецкманн са Универзитета у Женеви у Швајцарској и Тсви Тлусти са Националног института за науку и технологију Улсан (УНИСТ) у Јужној Кореји пронашли су скривено дугме за ресетовање које укључује промену величине почетне ротације помоћу заједничког фактора, процес познат као скалирање, и понављање два пута.

У случају окретног врха, ако је ваша почетна ротација окренула врх за три четвртине, можете се вратити на почетак тако што ћете скалирати своју ротацију на једну осмину, а затим је поновити два пута да бисте добили додатну четвртину ротације. Али Екман и Тлусти су показали да је то могуће урадити и за много компликованије ситуације.

„То је заправо својство скоро сваког објекта који се ротира, попут окретања или кубита, жироскопа или роботске руке“, каже Тлусти. „Ако (објекти) пролазе кроз веома замршену путању у свемиру, само скалирањем свих углова ротације за исти фактор и понављањем ове компликоване путање двапут, они се једноставно враћају на почетак.

Њихов математички доказ почиње каталогом свих могућих ротација у три просторне димензије. Овај каталог, познат као СО(3), може се описати коришћењем апстрактног математичког простора који има посебна правила и структуриран је попут лопте, са чином гурања објекта кроз низ ротација у реалном простору који одговара кретању од једне тачке унутар лопте до друге, као што је црв који пролази кроз тунел кроз јабуку.

Када завртите врх на неки компликован начин, еквивалентна путања унутар СО(3) простора почиње у самом центру лопте и може се завршити у било којој другој тачки унутар лопте, у зависности од детаља ротације. Циљ поништавања ротације је еквивалентан проналажењу пута назад до центра лопте, али пошто постоји само један центар, ваше шансе да то урадите насумично су мале.

Оно што су Екман и Тлусти схватили је да је, као резултат начина на који је СО(3) структуриран, поништавање ротације на пола пута еквивалентно проналажењу путање која ће вас спустити било где на површину лопте. Ово је много лакше него покушавати да се дође до центра, јер је површина састављена од много тачака, каже Тлусти. Ово је било кључно за нови доказ.

Пар је провео много времена у потрази за математичким резоновањем које нигде није водило, каже Екман. Оно што је на крају функционисало била је формула из 19. века за комбиновање две наредне ротације назване Родригуес формула и теорема из 1889. из гране математике познате као теорија бројева. На крају, истраживачи су закључили да фактор скалирања неопходан за њихово ресетовање скоро увек постоји.

За Екмана, нови рад је приказ колико математика може бити богата чак и у области која је тако добро развијена као што је проучавање ротација. Тлусти каже да би то такође могло имати практичне последице, на пример, у нуклеарној магнетној резонанцији (НМР), која је основа снимања магнетном резонанцом (МРИ). Овде истраживачи уче својства материјала и ткива проучавајући одговор квантних спинова унутар њих на ротације које им намећу спољна магнетна поља. Нови доказ би могао да помогне у развоју процедура за поништавање нежељених окретаја који би ометали процес снимања.

Рад би такође могао да доведе до напретка у роботици, каже Џози Хјуз са Федералне политехничке школе у ​​Лозани у Швајцарској. На пример, робот који се котрља могао би да се натера да прати путању сегмената који се понављају, који обухватају поуздано кретање ролл-ресет-ролл који би, у теорији, могао да траје заувек. „Замислите да имамо робота који може да се мења између било ког чврстог облика тела, он би онда могао да прати било коју жељену путању једноставно кроз преобликовање облика“, каже она.