Користећи вештачку интелигенцију, математичари проналазе скривене грешке у једначинама флуида

Пре скоро 200 година, физичари Клод-Луј Навијер и Џорџ Габријел Стоукс ставили су завршне детаље на скуп једначина које описују како се течности врте. И скоро 200 година, Навиер-Стокесове једначине су служиле као неоспорна теорија о томе како се течности у стварном свету понашају – од океанских струја које пролазе између континената до ваздуха који се обавија око крила авиона.

Ипак, многи математичари сумњају да се кварови крију дубоко у једначинама. Имају осећај да у одређеним ситуацијама теорија не успе. У овим случајевима, једначине ће предвидети да се течност креће на неки нефизички, несхватљив начин – да се окреће у невероватно брз вртлог, на пример, или да тренутно преокрене свој ток. Нека количина у једначинама ће нарасти бесконачно велика, или ће „напухати“, како то математичари кажу.

Упркос огромном труду, нико није успео да дође до ситуације у којој се Навиер-Стокесове једначине колебају. Ако то учините – или, алтернативно, докажете да једначине никада не експлодирају – донијело би награду од милион долара. И тако, као увод у решавање Навиер-Стокесовог проблема, математичари су тражили надоградње (који се такође називају сингуларитетима) у низу поједностављених једначина флуида, као што су оне које делују само у једној димензији.

Нашли су их. Али у суштини све сингуларности које су идентификовали су „стабилне“, што значи да се могу формирати на много могућих начина. У најреалистичнијим теоријама флуида, укључујући Навиер-Стокес, експлозије (ако постоје) ће вероватно бити далеко деликатније, дешавајући се на незамисливо прецизан начин. Ове „нестабилне“ надуве је било скоро немогуће пронаћи, врхунске игле у пласту сена.

У овим реалистичним теоријама, „многи људи верују да постоје сингуларности, али да су нестабилне, тако да их никада не видимо“, рекао је Чарли Феферман, математичар са Универзитета Принстон који је формулисао милионски Навиер-Стоксов изазов.

Сада је једна група математичара развила начин тренирања машина за уочавање ових фантомских грешака. У препринту објављеном у септембру, они су поново испитали једноставније једначине флуида за које је већ познато да имају стабилну сингуларност. Тамо су пронашли додатне потенцијалне сценарије експлозије – укључујући нестабилне. То је био први пут да је могућа нестабилна сингуларност откривена у флуиду више од једне димензије.

Тим је наставио са откривањем асортимана нестабилних кандидата за сингуларност у неколико других флуидних једначина. Нису пронашли никакве сингуларности од милион долара. И још треба да ригорозно докажу да они које су пронашли заиста експлодирају. Али њихов успех у откривању потенцијалних нестабилних сингуларитета у једноставним моделима буди наду да ће такође бити могуће пронаћи нестабилне преокрете у сценаријима са већим улозима.

„Идеја о нестабилној сингуларности више не спречава откривање сингуларности“, рекао је Феферман, који није био укључен у ново истраживање.

Лов на сингуларност

Решење Навиер-Стокесових једначина обухвата делић вечности. Решавање једначина за неко почетно стање течности ће вам рећи брзину течности у свакој тачки у простору иу сваком тренутку у времену. У једном једноставном решењу, течност би могла да почне да се смири и да остане мирна заувек. У сложенијој поставци, благе струје би се могле спојити у вртлоге и вртлоге. Велика мистерија је да ли свако решење – свака могућа историја флуида која задовољава Навиер-Стокесове једначине – има смисла свуда и увек.

Али решавање Навиер-Стокесових једначина за флуиде у три димензије је неизрециво тешко, па су математичари почели са лакшим верзијама проблема. На пример, Ојлерове једначине претпостављају да течности теку без унутрашњег трења или вискозитета. Енергија се не расипа у овим течностима без трења, тако да би требало да експлодирају лакше од вискозних.

Али чак и у овом једноставнијем сценарију, тешко је пронаћи решење за надувавање. Једначине флуида су генерално превише компликоване да би се решавале директно оловком и папиром. Дакле, уобичајени приступ је коришћење компјутера за симулацију кретања течности и добијање приближног осећаја услова који изгледа да изазивају експлозију. Ако можете уско да идентификујете услове који изазивају експлозију, можда ћете моћи да искористите то знање да ригорозно докажете да експлозија заиста постоји.

То је приступ који су Томас Хоу и Гуо Луо заузели 2013. године, када су симулирали дигиталну течност у конзерви. Поставили су горњу половину течности која се окреће у једном смеру и доњу половину у другом, а затим су еволуирали овај сценарио кроз време користећи Ојлерове једначине. На крају, на местима где су се супротни токови састајали дуж границе лименке, вртложност (мера колико се течност окреће око тачке) постала је велика – већа него што је њихов рачунар могао да поднесе.

Ово је био наговештај да ће сличан сет услова довести до експлозије. Али то није била гаранција. „Гробља су препуна наводних јединствених решења 3Д Ојлера“, рекао је Феферман.

Хоуу и другом сараднику, Јиајие Цхену, требало је скоро деценију да уклоне „наводне“. Они су 2022. године користили компјутер да докажу да кандидат за сингуларност имплицира постојање истинске сингуларности. Био је то значајан доказ и математичари су огладнели да још више помере границу.

Истраживање је зависило од компјутерских симулација, што је значило да мала прилагођавања почетног стања дигиталног флуида (или било које грешке дигиталног заокруживања) неће утицати на судбину течности. Сингуларност би се и даље јављала на граници лименке чак и када би се ствари одиграле мало другачије.

Због тога је сингуларитет био стабилан. Али сингуларност не мора бити стабилна. До експлозије може доћи само када је течност постављена на најделикатнији начин. У таквом случају, свако прилагођавање том почетном распореду, ма колико мало, спречило би течност да експлодира.

Многи математичари претпостављају да ако сингуларности вребају у реалистичнијим једначинама флуида, оне ће бити овако нестабилне, израњајући без упозорења.

Такође ће их бити много теже пронаћи.

Гоинг Фините

У суштини је немогуће пронаћи кандидата за нестабилну сингуларност помоћу компјутерске симулације. Прво би вам био потребан космички потез среће да бисте слетели на тачну почетну конфигурацију за вашу течност – слично покушају да савршено избалансирате оловку на њеном врху, рекао је Тристан Бакмастер, математичар са Универзитета у Њујорку. Затим, да бисте га одржали у равнотежи, такође бисте морали да беспрекорно развијате течност из једног тренутка у други, јер ће га чак и најмања девијација усмерити на пут који неће експлодирати.

Компјутери нису способни за бесконачну прецизност. Они ће неизбежно унети нумеричке грешке које ће, иако мале, зауставити формирање нестабилне сингуларности. „То је као да вам ветар дува на оловку“, рекао је Бакмастер.