(Пошто пуна ротација враћа сваку тачку на троуглу тамо где је почела, математичари престају да броје ротације преко 360 степени.)
Ове симетрије су дискретне: оне чине скуп различитих трансформација које се морају применити у одвојеним, неповезаним корацима. Али такође можете проучавати континуиране симетрије. Није важно, на пример, ако окрећете фризби за 1,5 степени, или 15 степени, или 150 степени — можете га ротирати за било који реалан број и он ће изгледати исто. За разлику од троугла, он има бесконачно много симетрија.
Ове ротације чине групу звану СО(2). „Ако имате само одраз, у реду, имате га, и то је добро“, рекао је Антон Алексејев, математичар са Универзитета у Женеви. „Али то је само једна операција.“ Ова група, с друге стране, „има много, много операција у једном пакету“ — небројено много.
Свака ротација фризбија се може представити као тачка у координатној равни. Ако исцртате све могуће ротације фризбија на овај начин, на крају ћете добити бесконачно много тачака које заједно чине круг.
Ово додатно својство је оно што чини СО(2) Лијевом групом — може се визуализовати као глатки, континуирани облик који се назива многострукост. Друге Лијеве групе могу изгледати као површина крофне, или високодимензионална сфера, или нешто још чудније: Група свих ротација лопте у простору, позната математичарима као СО(3), је шестодимензионални сплет сфера и кругова.
Без обзира на специфичности, глатка геометрија група Лие је тајни састојак који подиже њихов статус међу групама.
На тангенти
Маријусу Софу Лију је требало времена да се пробије до математике. Одрастао у Норвешкој 1850-их, надао се да ће наставити војну каријеру када заврши средњу школу. Уместо тога, приморан да напусти свој сан због слабог вида, завршио је на универзитету, несигуран шта да студира. Похађао је курсеве астрономије и механике, и накратко кокетирао са физиком, ботаником и зоологијом пре него што га је коначно привукла математика – посебно геометрија.
Крајем 1860-их наставио је студије, прво у Немачкој, а потом у Француској. Био је у Паризу 1870. када је избио Француско-пруски рат. Убрзо је покушао да напусти земљу, али су његове белешке о геометрији, написане на немачком, погрешно закодиране поруке, па је ухапшен, оптужен да је шпијун. Месец дана касније изашао је из затвора и брзо се вратио математици.
Конкретно, почео је да ради са групама. Четрдесет година раније, математичар Еварист Галоис је користио једну класу група да би разумео решења полиномских једначина. Ли је сада желео да уради исту ствар за такозване диференцијалне једначине, које се користе за моделирање како се физички систем мења током времена.
Његова визија за диференцијалне једначине није успела како се надао. Али убрзо је схватио да су групе које је проучавао саме по себи занимљиве. И тако је настала група Лие.
Многострука природа Лијевих група била је огромна благодат за математичаре. Када седну да разумеју групу Лие, могу да користе све алате геометрије и рачунице — нешто што није нужно тачно за друге врсте група. То је зато што сваки разводник има лепо својство: ако зумирате довољно мали регион, његове криве нестају, баш као што се сферна Земља чини равном за нас који ходамо по њеној површини.
Да бисмо видели зашто је ово корисно за проучавање група, вратимо се на СО(2). Запамтите да се СО(2) састоји од свих ротација фризбија и да се те ротације могу представити као тачке на кругу. За сада, хајде да се фокусирамо на део круга који одговара веома малим ротацијама — рецимо, ротацијама мањим од 1 степен.
Овде је крива СО(2) једва приметна. Када се фризби ротира за 1 степен или мање, било која тачка на његовом ободу прати скоро линеарну путању. То значи да математичари могу апроксимирати ове ротације са правом линијом која додирује круг у само једној тачки – тангентном линијом. Ова тангентна линија се зове Лијева алгебра.
Ова функција је изузетно корисна. Математика је много лакша на правој него на кривој. А Лијева алгебра садржи сопствене елементе (често визуализоване као стрелице које се називају вектори) које математичари могу да користе да поједноставе своје прорачуне о првобитној групи. „Једна од најлакших врста математике на свету је линеарна алгебра, а теорија Лијевих група је осмишљена на такав начин да само стално користи линеарну алгебру“, рекао је Дејвид Воган са Технолошког института у Масачусетсу.
Рецимо да желите да упоредите две различите групе. Њихове Лијеве алгебре поједностављују њихова кључна својства, рекао је Воган, чинећи овај задатак много једноставнијим.
„Интеракција између ове две структуре“, рекла је Алесандра Јоци, математичарка са Швајцарског федералног института за технологију у Цириху, о Лијевим групама и њиховим алгебрама, „је нешто што има апсолутно огроман низ последица.
Језик природе
Природни свет је пун врста непрекидних симетрија које хватају Лијеве групе, што их чини незаменљивим у физици. Узмите гравитацију. Гравитационо привлачење Сунца на Земљу зависи само од удаљености између њих — на пример, није важно на којој страни Сунца је Земља. У језику Лијевих група, дакле, гравитација је „симетрична према СО(3).“ Остаје непромењен када се систем на који делује ротира у тродимензионалном простору.
У ствари, све фундаменталне силе у физици — гравитација, електромагнетизам и силе које држе заједно атомска језгра — дефинисане су симетријама Лијеве групе. Користећи ту дефиницију, научници могу да објасне основне загонетке о материји, на пример зашто су протони увек упарени са неутронима и зашто енергија атома долази у дискретним количинама.
Године 1918. Еми Ноетер је запањила математичаре и физичаре доказавши да групе Лаја такође леже у основи неких од најосновнијих закона очувања у физици. Она је показала да за било коју симетрију у физичком систему који се може описати Лијевом групом постоји одговарајући закон одржања. На пример, чињеница да су закони физике данас исти као што су били јуче и биће сутра – симетрија позната као симетрија временске транслације, коју представља Лијева група која се састоји од реалних бројева – имплицира да енергија универзума мора бити очувана, и обрнуто. „Мислим, чак и сада, то је веома изненађујући резултат“, рекао је Алексејев.
Данас, групе Лие остају витално оруђе и за математичаре и за физичаре. „Дефиниције живе у математици јер су моћне. Зато што има много занимљивих примера и дају вам добар начин да размислите о нечему“, рекао је Воган. „Симетрија је свуда, и за то служе ове ствари.“
