Пробојни доказ о довођењу математике ближе великом јединственом теорији

Једна од највећих прича у науци мирно се игра у свету апстрактних математика. Током прошле године, истраживачи су испунили децеднички сан када су представили доказ о геометријском језику Лангаландс – кључно дело групи међусобно повезаних проблема које се називају Лангаландски програм. Доказ – Гаргантуански напор – потврђује замршени и далекосежни Лангански програм, који се често поздравља као велика јединствена теорија математике, али остаје у великој мери недоказана. Ипак, истински утицај рада могао би да не лаже у ономе што се то смета, али у новим путевима истраге открива.

„То је огроман тријумф. Али уместо затварања врата, овај доказ отварају десетак других“, каже Давид Бен-Зви на Универзитету у Тексасу у Аустину, који није био укључен у дело.

„Ум пухање“: квантни рачунар одкрпа се математику чворова

Доказивање геометријске претпоставке Лангландс је дуго сматрано једним од најдубљих и најнижијих потрага у модерном математици. Коначно, требало је да је тим од девет математичара требало да пробије проблем, у низу пет радова који се протеже скоро 1.000 страница^1–5. Групу је водила Деннис Гаитсгори на Мак Планцк Институту за математику у Бонну, Немачкој и Саму Раскину на Универзитету Иале у Новом Хавену, Цоннецтицут, која је довршила докторат са Гаитсгори-ом.

Математичка заједница је брзо препознала: у априлу је у априлу примила награду од 3 милиона америчких долара, а Раскин је награђен новим хоризонтима награду за обећавање математичара ране каријере. Као и многи оријентири резултирају математиком, доказ обећава да ће фалсификовати мостове између различитих подручја, омогућавајући алате једног домена да се у другом решавају интрактивне проблеме у другом. Све речено, то је у главном времену за истраживаче у овим областима.

„То нам даје најјачи доказ, а ипак, нешто што смо веровали деценијама је тачно“, каже Бен-Зви. „Сада се коначно можемо питати: Шта то заиста значи?“

Причу о рупу

Програм Лангландс пронашао је своје порекло 60 година, на рад младог канадског математичара по имену Роберт Лангландс, који је своју визију изнео у руком писаном писму водећим математичким Андре Веил-ом. Током деценија програм је привукао све већу пажњу математичара, који су се претворили на то како је то свеобухватно било. То је била функција која је водила Едварда Френкел на Универзитету у Калифорнији, Беркелеи, који је дао кључни допринос геометријској страни, да га назове велика јединствена теорија математике.

Циљ Лангландса био је повезивање две веома одвојене главне гране теорије математике – броја (проучавање целих бројева) и хармоничне анализе (проучавање колико компликованих сигнала или функција пропадају у једноставне таласе). Посебан случај програма Лангландс је епски доказ да је Андрев Вилес објавио 1995. године, Ферматова последње теорема – да нема три позитивна цела броја а, б и ц задовољити једначину а^н+ б^н = ц^н ако н је цели број већи од 2.

Геометријска конзумирање Лангландс први пут је развијена 1980-их Владимир Дринфелд, а затим на Б. Веркин Институту за физику и инжењеринг ниске температуре у Харков, Украјина. Попут оригиналног или аритметичког облика преноса Лангландса, геометријска претпоставка такође чини тип везе: Предлаже преписку између два различита скупа математичких објеката. Иако су поља која су повезана аритметичким обликом Лангланда одвојена математички „светови“, разлике између две стране геометријске претпоставке нису толико изражене. Обоје се тичу некретнина РИЕМАНН површине, које су „сложене многобројне“ – структуре са координатама које су сложене бројеве (са стварним и имагинарним деловима). Ови раздјелници могу да узму облик сфера, крофне или облика сличних перема са две или више рупа.

Многи математичари снажно сумњају да „блискост“ са две стране значи доказ геометријске лангландске претпоставке, на крају може понудити неку вучу за унапређење аритметичке верзије, у којој су односи мистериознији. „Да бисмо заиста разумели кореспонденцију Лангландс, морамо схватити да“ два света „нису толико другачији – радије су две аспекте једног и истог света“, каже Френкел. „Виђење овог јединства захтева нову визију, ново разумевање. Још увек смо далеко од тога у оригиналној формулацији. Али чињеница да, за Риеманненске површине, два светска светаца значи да се приближавамо проналажењу овог тајног јединства,“ додаје га.

Пионири гојазности и 13.588 физичари освајају награде од 3 милиона долара

Једна страна преношења геометријског лангландса односи се на карактеристику која се назива основна група. У основним условима, основна група ариеманнових површина описује све различите начине у којима се петље могу везати око њега. Са крофном, на пример, петља може хоризонтално да се покреће око спољне ивице или вертикално кроз рупу и споља. Геометријски лангландс бави се „заступношћу“ основне основне групе, што изражава својства групе као матрице (решетке бројева).

Друга страна геометријског програма Лангландс има везе са посебним врстама „Схеавес“. Ови алати алгебарске геометрије су правила која алге „векторски простори“ (где се вектори – стрелице могу додати и помножити) да на исти начин на исти начин додаје функцију на исти начин као и функција која описује гравитационо поље, рецимо, може да додели бројеве за снагу поља за бодове у стандардном 3Д простору.

БридгеВорк у току

Рад на премошћавању ове поделе почео је назад у деведесетима. Користећи ранији рад на Кац-Мооди Алгебри, који „превести“ између репрезентација и Схереавеса, Дринфелда и Александра Беилинсона, и на Универзитету у Чикагу, Илиноис, описао је како да изгради праву врсту Схереаве-а да би се повезала. Њихов папир (види го.натуре.цом / 4ндп5ев), скоро 400 страница дуго, никада није било формално објављено. Гаитсгори, заједно са Дима Аринкином на Универзитету Висцонсин-Мадисон, дао је овај однос прецизнији у 2012. години⁶; Затим, рад сама, гаитсгори је праћен корак по корак изглед начина на који се могу доказати геометријски лангландс⁷.

„Претпоставка као такав звучи прилично барока – а не само странцима“, каже Бен-Зви. „Мислим да су људи много више узбуђени због доказа о геометријском лангланду него што би били пре деценију, јер боље разумемо зашто је то праве врсте питања и зашто би то могло бити корисно за ствари у теорији броја.“

Једна од најпознатијих посљедица новог доказа је подстицај које пружа истраживање „локалних“ верзија различитих конзумирања Лангландса, које „зумирају“ на одређене предмете у „Глобал“ поставки. У случају геометријског лангландског програма, на пример, локална верзија се бави својствима предмета повезаних са дисковима око бодова на потакмици Риеманна – а не цео разводник, који је домен ‘Глобал’ Глобал ‘.

Петер Сцхолзе, на Мак Планцк Институту за математику, био је пресудан у ковању веза између локалних и глобалних лангландских програма. Али у почетку, чак је и застрашујућа геометријска страна.

„Да кажем истину“, каже Сцхолзе „, до око 2014. године, геометријски програм Лангландс изгледао је неразумљиво.“ То је промењено када је Лаурент Гаргуес на Институту за математику Јуссиеу у Паризу предложио ремагирање локалних аритметичких преноса у геометријском смислу⁸. Радећи заједно, Сцхолзе и дарке проводили су седам година који су показали да би ова стратегија могла помоћи да напредује на доказивању верзије локалне преношене аритметичке лангландске претпоставке⁹ који се тичеп-Адијски бројеви, који укључују прими и своје моћи. Повезали су је на глобалну геометријску верзију да је тим који је на води Гаитсгори и Раскин касније доказао.

Радови Сцхолзе и дарке изградили су оно што Сцхолзе описује као „црвоточина“ између две области, што омогућава методе и структуре из глобалног геометријског лангландског програма да се увезе у локални аритметички контекст. „Значи, стварно сам срећан због доказа“, каже Сцхолзе. „Мислим да је то сјајно достигнуће и рудар је за делове.“

Квантна веза

Према неким истраживачима, један од најчуднијих мостова који је изградио геометријски програм Лангландса је теоријској физици. Од 1970-их, физичари су истражили квантни аналог класичне симетрије: које убавља електрична и магнетна поља у Маквелллове једнаџбе, која описују како двије поља међусобно комуницирају, остављају једнажбе непромењене. Ова елегантна симетрија поднела је ширу идеју у теорији квантног поља, позната као С-дуалност.

‘Гранд Унифиед Теорија математичких мрежа Абела награда

2007. године Едвард Виттен на Институту за напредну студију (МРС) у Принцетону, Нев Јерсеију и Антон Капустин на Калифорнијском институту за технологију у Пасадени могли су да покажу¹⁰ Та с-дуалност у одређеним четвородимензионалним теоријама мерача – класа теорија која укључује стандардни модел физике честица – поседује исту симетрију која се појављује у преписку Геометријске Лангландске преписке. „Наизглед езотеријског појма програма геометријске лангландске,“ пар је написао „, природно се појављује из физике.“

Иако њихове теорије укључују хипотетичке честице, које се назване суперпартмесе, који никада нису примећени, њихов увид сугерише да геометријски лангландс није само раширена идеја у чистој математици; Уместо тога, то се може посматрати као сенка дубоке симетрије у квантној физици. „Мислим да је фасцинантно да програм Лангландс има овај колега у теорији квантне теренске терен“, каже Виттен. „И мислим да би то на крају могло бити важно у математичком развоју програма Лангландс.“

Међу првима које је преузео да је то озбиљно била Минхионг Ким, директор Међународног центра за математичке науке у Единбургу, Велика Британија. „Чак и једноставно-звучни проблеми у теорији броја – попут последње теорема Ферматова – тешко је“, каже он. Један од начина да се креће за напредак је коришћењем идеја из физике, попут оних у Виттен-у и Капустиновим радом, као некак метафора за проблеме са бројеро-теоретским проблемима, као што су преношење аритметичких лангланда. Ким ради на прављењу ових метафора ригорознијим. „Ја узимам разне конструкције у теорији квантног поља и покушавам да скувам прецизне бројеве-теоретски аналози“, каже он.