Човек који је украо бесконачност

У школи је научио да је Кантор једини оснивач теорије скупова — и да је све почело доказом који је објавио 1874. У том доказу, Кантор је показао да постоје различите величине бесконачности, стављајући у кревет идеју да је бесконачност само део математичке варке.

Гоос је започео истраживање за подкаст о Цанторовом открићу. Али убрзо је открио да је права прича компликованија него што му је речено.

„Мој приступ првобитно је био да испричам причу коју сви причају. То је прелепа прича“, рекао је он. „Али то је погрешна прича. Није баш оно што се догодило.“

Тројански коњ

Права прича је била да Кантор није био усамљени геније. Имао је партнера – бар неко време.

Кад год би Кантор срео математичаре истомишљенике, знао је да им се жељно удварао. Појављивао би се у резиденцији сарадника у зору, узбуђен да разговара о некој новој идеји коју је имао, понекад чекајући сатима док се не пробуде. Тако је било и са Дедекиндом. Након њиховог сусрета 1872. у Герзауу, Кантор је користио сваку прилику да пита старијег математичара за савет.

У новембру 1873. Кантор је започео размену која ће заувек променити ток људског знања. „Дозволите ми да вам поставим питање“, написао је Дедекинду у на брзину написаном писму. „За мене има одређени теоријски интерес, али не могу сам да одговорим; можда и ви можете.

Кантор је нашао излаз за ревносни нагон који је његов отац усадио: бесконачну природу бројевне праве. „Имао је веома јак осећај за мисију“, рекао је Јосе Ферреиросисторичар и филозоф математике на Универзитету у Севиљи у Шпанији. „Био је уверен да ће увођење стварне бесконачности променити не само математику, већ и науку уопште.“ За Кантора, ова врста бесконачности није била у супротности са Божјом надмоћи. То је само значило да је Бог био свуда, уместо да је удаљен и неспознатљив, да пребива између свих ствари.

Почео је да проучава стварне бројеве као један, бесконачан пакет, постављајући питања која нико раније није помислио да постави. Да ли је постојала разлика између бесконачности коју сигнализирају три тачке у 1, 2, 3, … и оне уграђене у мистериозни континуум бројевне праве? Другим речима, да ли је било више реалних него целих бројева?

На први поглед, питање је изгледало бесмислено. Шта би уопште значило да ови бесконачни скупови буду различитих величина?

Кантор је желео да сазна.

Питао је Дедекинда да ли се ова два скупа бројева могу ставити у „један-на-један” кореспонденцију – упаривање сваког реалног броја са својим посебним целим бројем. Успео је то да уради, написао је, за другачији скуп: доказао је да се рационалним бројевима (бројевима који се могу записати као разломак) сваком може доделити јединствен цео број, без остављања преосталих бројева. То јест, иако се чинило да постоје далеко рационалнији бројеви од целих бројева, два скупа су заправо била исте величине. Стога су оба била оно што ће математичари касније назвати „пребројивим“.

Али Кантор није могао да схвати како да упореди целе бројеве са стварним на исти начин. Дедекинд је брзо одговорио да не може ни он — али да је разрадио доказ да се алгебарски бројеви (бројеви које добијете као решења алгебарских проблема) могу пребројати. „Не бих све ово написао“, написао је Дедекинд Кантору на крају, „да нисам сматрао могућим да би вам једна или друга примедба могла бити корисна.

Одатле се наставио математички волеј. Покренут Дедекиндовим напретком, Кантор је наредне дане провео укидајући се на преостало питање — стварне бројеве. Да ли би коначно могао да покаже да су они, за разлику од алгебарских бројева, већи бесконачност од целих бројева?

Он је 7. децембра 1873. писао Дедекинду да мисли да је коначно успео: „Али ако се заваравам, сигурно не бих нашао попустљивијег судију од тебе. Он је изнео свој доказ. Али било је незграпно, замршено. Дедекинд је одговорио начином да поједностави Канторов доказ, градећи јаснији аргумент без губљења било какве строгости или тачности. У међувремену, Кантор му је, пре него што је примио Дедекиндово писмо, послао сличну идеју како да поједностави доказ, иако није разрадио детаље као Дедекинд.

Кантор је разматрао оно што је имао у руци: два скупа, оба бесконачна, али један некако већи од другог. Импликације су биле револуционарне. Почео је да сања не једну бесконачност, већ читаву њихову хијерархију. А ако се бесконачности могу тако конкретно упоредити, онда су морале бити стварне, а не само фигуре говора.

Његов доказ, схватио је, има потенцијал да уздрма свет математике до сржи. Али не без љутње неких од њених најистакнутијих личности.

Једна од тих личности био је Леополд Кронекер, математички идеолог који је мрзео бесконачност. Није веровао у препуне кутке и пукотине бројевне праве. Према математичару Фердинанду фон Линдеману, који је доказао да π није алгебарски – никада не можете поставити обичан алгебарски проблем где је π одговор – Кронекер му је једном рекао да је његов рад безвредан, пошто такви „трансцендентни“ бројеви не постоје.

Кронекер је такође био главни чувар капије у свету математике. Био је у уредништву часописа Црелле’с Јоурналједна од еминентних светских математичких публикација. И никада није оклевао да искористи свој огроман утицај да прогура своју реакционарну агенду. Често би одлучивао који ће резултати брзо доћи до других математичара — или уопште.

Кантор је, након што је разговарао о свом раду са својим ментором Карлом Вајерштрасом, желео да објави налазе у Црелле. Тамо ће, мислио је, моћи да унесе бесконачност у мејнстрим. Да открије ум Божији целом свету. Да постанем сјајна звезда на хоризонту математике.

Канторов осећај мисије, тај „тајни глас“ у њему, почео је да буја.

Кантор је имао добар однос са Кронекером. Али неколико година раније, Дедекинд је победио Кронекера до великог резултата, а Кронекерова несклоност према њему била је добро позната. Ако је Кантор поднео рад у коауторству са Кронекеровим непријатељем – рад који је отворено изјавио да постоји више величина бесконачности – можда никада неће бити објављен.

Тако је донео две одлуке.

Први је био да се направи математички тројански коњ.

Вајерштрас је био највише узбуђен због доказа да су алгебарски бројеви пребројиви. (Касније ће искористити тај резултат да докаже сопствену теорему.) Дакле, Кантор је одабрао погрешан наслов који је помињао само алгебарске бројеве.

Али он је тај доказ – Дедекиндов доказ – видео као мамац, клин којим би могао да отвори забрањене капије бесконачности. Пишући свој рад, Кантор је на прво место ставио доказ о алгебарским бројевима. Испод њега је додао свој доказ да се прави бројеви не могу пребројати — Дедекиндову поједностављену верзију, тј. Кантор је умањио значај овог другог одељка. „Намерно је изабрао формулацију која Кронекеру и свима онима који су мрзели бесконачност не би звучала сумњиво“, рекао је Гус.

Цанторова друга одлука била је да за себе тражи пуно ауторство. Пажљиво је избрисао сваки траг доприноса свог сарадника, укључујући и залуталу употребу термина које би свако ко зна препознао као Дедекиндове.

На класични Канторов начин, он је за један дан спојио папир и предао га Црелле. Следећег јутра, на Божић 1873, послао је писмо Дедекинду, дајући му до знања да га је Вајерштрас убедио да објави. „Као што ћете видети“, написао је, „ваше примедбе, које веома ценим, и начин на који сте изнели неке од тачака били су ми од велике помоћи.

Писање приче

Први доказ о Канторовој обмани открио је почетком 20. века други велики немачки математичар. Еми Ноетер је била Дедекиндска помоћница. Често би била поетична у вези са његовом математичком проницљивошћу. Као што је волела да каже својим ученицима: „Све је већ у Дедекинду. Године 1930. скупљала је сав његов математички рад у четворотомну публикацију када је наишла на нека од писама које је сачувао из своје преписке са Кантором. Удружила се са француским филозофом Јеан Цаваиллесом како би их прикупила и објавила.

Прошло је више од деценије откако су Дедекинд и Кантор умрли. Ноетхер и Цаваиллес провели су наредних неколико година тражећи писма са Дедекиндовог имања. Године 1933, након доласка Адолфа Хитлера на власт, Ноетхер, која је била Јеврејка, побегла је из Немачке у САД, где је умрла две године касније од рака. Али Цаваиллес је завршио свој пројекат 1937.

Преписка каква је представљена у књизи била је чудна. Почело је налетом писама која је почела убрзо након што су се Кантор и Дедекинд упознали 1872. Писма са Дедекиндовог имања укључивала су само она која је он примио, а не она која је послао Кантору. Онда је преписка изненада прекинута у јануару 1874. и уследило је неколико година ћутања. Када је размена настављена 1877. године, сада су се појавила и Дедекиндова писма Кантору. Дедекинд је очигледно одлучио да задржи копију свега што је слао свом колеги математичару.

Постојала је и белешка коју је Дедекинд, чини се, написао себи након што је видео Цанторову публикацију из 1874. Црелле. У њему је испричао како је послао Цантору први доказ у новинама и ревидирану верзију другог – само да би видео како се обојица појављују „скоро од речи до речи“ у штампи само неколико месеци касније само под Канторовим именом.

Дедекинд никада није изашао у јавност са овом тврдњом, а Ноетхер и Цаваиллес то нису коментарисали. „Мислим да је за њих то била веома свесна одлука да ништа не кажу и да пусте писма да говоре сама за себе“, рекао је Фереирос, историчар из Севиље. „То је био кодекс части тог времена.“

Ни нико други није скренуо пажњу на то — барем не у штампи. Најраније Канторове биографије, које су написали његови ученици математике, једноставно су хвалили његову генијалност.